Langkah-langkah dalam memilih model peramalan Model peramalan Anda harus mencakup fitur yang menangkap semua sifat kualitatif penting dari data: pola variasi tingkat dan tren, dampak inflasi dan musiman, korelasi antar variabel, dan sebagainya. Selain itu, asumsi yang mendasari Model yang dipilih harus sesuai dengan intuisi Anda tentang bagaimana rangkaian ini cenderung berperilaku di masa depan. Saat memasang model peramalan, Anda memiliki beberapa pilihan berikut: Pilihan ini dijelaskan secara singkat di bawah ini. Lihat Bagan Peramalan Peramalan untuk tampilan bergambar dari model-spesifikasi proses, dan lihat kembali ke panel Spesifikasi Model Statgrafik untuk melihat bagaimana fitur model dipilih dalam perangkat lunak. Deflasi Jika seri menunjukkan pertumbuhan inflasi, maka deflasi akan membantu memperhitungkan pola pertumbuhan dan mengurangi heteroskedastisitas pada residu. Anda dapat (i) mengempiskan data masa lalu dan menyesuaikan kembali perkiraan jangka panjang pada tingkat asumsi konstan, atau (ii) mengempiskan data masa lalu dengan indeks harga seperti CPI, dan kemudian secara otomatis menentukan kembali perkiraan jangka panjang yang menggunakan Perkiraan indeks harga. Opsi (i) adalah yang termudah. Di Excel, Anda bisa membuat kolom formula untuk membagi nilai asli dengan faktor yang sesuai. Misalnya, jika datanya bulanan dan Anda ingin mengempis dengan kecepatan 5 per 12 bulan, Anda akan membagi dengan faktor (1,05) (k12) di mana k adalah indeks baris (nomor pengamatan). RegressIt dan Statigrafi memiliki alat built-in yang melakukan ini secara otomatis untuk Anda. Jika Anda pergi ke rute ini, biasanya lebih baik menetapkan tingkat inflasi yang diasumsikan sama dengan perkiraan terbaik tarif saat ini, terutama jika Anda akan meramalkan lebih dari satu periode di depan. Jika Anda memilih opsi (ii), pertama Anda harus menyimpan perkiraan dan batasan kepercayaan yang kempos ke spreadsheet data Anda, kemudian menghasilkan dan menyimpan perkiraan indeks harga, dan akhirnya memperbanyak kolom yang sesuai. (Kembali ke atas halaman.) Transformasi logaritma Jika rangkaian menunjukkan pertumbuhan majemuk dan atau pola musiman multiplikatif, transformasi logaritma dapat membantu selain atau pengganti deflasi. Logging data tidak akan meratakan pola pertumbuhan inflasi, namun akan meluruskannya sehingga dapat dipasang oleh model linier (misalnya model berjalan acak atau ARIMA dengan pertumbuhan konstan, atau model pemulusan eksponensial linier). Selain itu, penebangan akan mengubah pola musiman multiplikatif menjadi pola aditif, sehingga jika Anda melakukan penyesuaian musiman setelah melakukan penebangan, Anda harus menggunakan jenis aditif. Logging berkaitan dengan inflasi secara implisit jika Anda ingin inflasi dimodelkan secara eksplisit - yaitu. Jika Anda ingin tingkat inflasi menjadi parameter yang terlihat dari model atau jika Anda ingin melihat plot data yang kempes - maka Anda harus mengempis daripada log. Penggunaan penting lain untuk transformasi log adalah hubungan linier antara variabel dalam mode regresi l. Misalnya, jika variabel dependen adalah fungsi multiplikatif daripada aditif dari variabel independen, atau jika hubungan antara variabel dependen dan independen linier dalam hal perubahan persentase daripada perubahan absolut, maka penerapan transformasi log ke satu atau lebih variabel Mungkin tepat, seperti pada contoh penjualan bir. (Penyesuaian musiman Jika rangkaian memiliki pola musiman yang kuat yang diyakini konstan dari tahun ke tahun, penyesuaian musiman mungkin merupakan cara yang tepat untuk memperkirakan dan memperkirakan pola. Keuntungan penyesuaian musiman adalah model pola musiman secara eksplisit, memberi Anda pilihan untuk mempelajari indeks musiman dan data musiman yang disesuaikan. Kerugiannya adalah bahwa hal itu memerlukan estimasi sejumlah besar parameter tambahan (terutama untuk data bulanan), dan tidak memberikan dasar teoritis untuk perhitungan interval kepercayaan quotcorrectquot confidence. Validasi out-of-sample sangat penting untuk mengurangi risiko over-pas data masa lalu melalui penyesuaian musiman. Jika datanya sangat musiman namun Anda tidak memilih penyesuaian musiman, alternatifnya adalah untuk (i) menggunakan model ARIMA musiman. Yang secara implisit memperkirakan pola musiman menggunakan kelambanan musiman dan perbedaan, atau (ii) menggunakan model pemulusan eksponensial musiman Winters, yang memperkirakan indeks musiman bervariasi waktu. (Return to top of page.) QuotIndependentquot variables Jika ada deret waktu lain yang Anda yakini memiliki kekuatan penjelasan sehubungan dengan rangkaian minat Anda (misalnya indikator ekonomi atau variabel kebijakan terkemuka seperti harga, iklan, promosi, dll.) Anda Mungkin ingin mempertimbangkan regresi sebagai tipe model Anda. Apakah Anda memilih regresi atau tidak, Anda masih perlu mempertimbangkan kemungkinan yang disebutkan di atas untuk mengubah variabel Anda (deflasi, log, penyesuaian musiman - dan mungkin juga differencing) sehingga dapat memanfaatkan dimensi waktu dan membuat hubungan dengan mereka. Bahkan jika Anda tidak memilih regresi pada saat ini, Anda mungkin ingin mempertimbangkan untuk menambahkan regresor ke model time-series (misalnya model ARIMA) jika residu ternyata memiliki korelasi silang signficant dengan variabel lainnya. (Kembali ke atas halaman.) Jalan Smoothing, rata-rata, atau acak Jika Anda telah memilih menyesuaikan data secara musiman - atau jika datanya tidak musiman untuk dimulai - maka Anda mungkin ingin menggunakan model rata-rata atau merapikan Sesuai dengan pola nonseasonal yang tetap ada dalam data pada saat ini. Rata-rata pemindaian sederhana atau model pemulusan eksponensial sederhana hanya menghitung data rata-rata lokal pada akhir rangkaian, dengan asumsi bahwa ini adalah perkiraan terbaik dari nilai rata-rata saat ini dimana data berfluktuasi. (Model-model ini berasumsi bahwa rata-rata seri bervariasi secara perlahan dan acak tanpa tren yang terus-menerus.) Pemulusan eksponensial sederhana biasanya lebih disukai daripada rata-rata bergerak sederhana, karena rata-rata tertimbang eksponensialnya melakukan pekerjaan yang lebih masuk akal untuk mengurangi data yang lebih tua, karena Parameter smoothing (alpha) bersifat kontinu dan dapat segera dioptimalkan, dan karena memiliki dasar teoritis yang mendasari untuk menghitung interval kepercayaan. Jika merapikan atau rata-rata tampaknya tidak membantu - yaitu. Jika prediktor terbaik dari nilai berikutnya dari rangkaian waktu hanyalah nilai sebelumnya - maka model jalan acak ditunjukkan. Ini adalah kasusnya, misalnya, jika jumlah istilah optimal dalam rata-rata bergerak sederhana ternyata 1, atau jika nilai optimal alfa dalam perataan eksponensial sederhana ternyata adalah 0,9999. Pemulusan eksponensial linier Brown dapat digunakan untuk menyesuaikan rangkaian dengan tren linier yang bervariasi secara perlahan, namun berhati-hatilah untuk mengekstrapolasi tren semacam itu jauh ke masa depan. (Perputaran kepercayaan yang meluas dengan cepat untuk model ini memberi kesaksian akan ketidakpastian tentang masa depan yang jauh.) Holts smoothing linier juga memperkirakan tren yang bervariasi, namun menggunakan parameter terpisah untuk merapikan tingkat dan kecenderungan, yang biasanya memberikan kecocokan yang lebih baik pada data. Dari model Brown8217s. Q uadratic eksponensial smoothing mencoba untuk memperkirakan tren kuadrat bervariasi waktu, dan hampir tidak akan pernah digunakan. (Hal ini sesuai dengan model ARIMA dengan tiga urutan perbedaan nonseasonal.) Pemulusan eksponensial linier dengan tren yang teredam (yaitu tren yang merata di cakrawala jauh) sering direkomendasikan dalam situasi di mana masa depan sangat tidak pasti. Berbagai model pemulusan eksponensial adalah kasus khusus model ARIMA (dijelaskan di bawah) dan dapat dilengkapi dengan perangkat lunak ARIMA. Secara khusus, model smoothing eksponensial sederhana adalah model ARIMA (0,1,1), model pemulusan linier Holt8217 adalah model ARIMA (0,2,2), dan model tren teredam adalah ARIMA (1,1,2 ) model. Ringkasan yang baik dari persamaan berbagai model pemulusan eksponensial dapat ditemukan di halaman ini di situs web SAS. (Menu SAS untuk menentukan model rangkaian waktu juga ditunjukkan di sana. Mereka serupa dengan yang ada di Stategafika.) Model garis tren linier, kuadrat, atau eksponensial adalah opsi lain untuk mengekstrapolasi rangkaian deseasonalized, namun jarang mengungguli berjalan acak, merapikan, atau Model ARIMA pada data bisnis. (Musim kemarau ekspedisi eksponensial musiman adalah perpanjangan dari pemulusan eksponensial yang secara simultan memperkirakan tingkat variasi, tren, dan faktor musiman yang berbeda dengan menggunakan persamaan rekursif. (Jadi, jika Anda menggunakan model ini, Anda tidak akan menyesuaikan data secara musiman.) Faktor musiman Winters dapat berupa perkalian atau aditif: biasanya Anda harus memilih opsi perkalian kecuali Anda telah mencatat data. Meskipun model Winters pandai dan cukup intuitif, namun praktis menerapkannya: memiliki tiga parameter pemulusan - alfa, beta, dan gamma - untuk meratakan tingkat, tren, dan faktor musiman secara terpisah, yang harus diperkirakan serentak. Penentuan nilai awal untuk indeks musiman dapat dilakukan dengan menerapkan metode rata-rata rasio ke rata-rata penyesuaian musiman ke sebagian atau seluruh rangkaian dan atau dengan backforecasting. Algoritma estimasi yang digunakan Statgraphics untuk parameter ini terkadang gagal untuk menyatukan dan menghasilkan nilai yang memberi perkiraan dan interval kepercayaan yang aneh, jadi saya akan merekomendasikan kehati-hatian saat menggunakan model ini. (Kembali ke atas halaman.) ARIMA Jika Anda tidak memilih penyesuaian musiman (atau jika datanya tidak musiman), Anda mungkin ingin menggunakan kerangka model ARIMA. Model ARIMA adalah kelas model yang sangat umum yang mencakup jalan acak, tren acak, pemulusan eksponensial, dan model autoregresif sebagai kasus khusus. Kebijaksanaan konvensional adalah bahwa seri adalah kandidat yang baik untuk model ARIMA jika (i) dapat dipetakan dengan kombinasi antara differencing dan transformasi matematis lainnya seperti penebangan kayu, dan (ii) Anda memiliki sejumlah data yang cukup untuk bekerja dengan : Setidaknya 4 musim penuh dalam kasus data musiman. (Jika rangkaian tidak dapat dipetakan secara stasionerisasi dengan cara membedakan - misalnya jika sangat tidak beraturan atau tampaknya mengubah perilaku secara kualitatif dari waktu ke waktu - atau jika Anda memiliki data kurang dari 4 musim, mungkin Anda lebih baik dengan model Yang menggunakan penyesuaian musiman dan beberapa jenis rata-rata atau penghalusan sederhana.) Model ARIMA memiliki konvensi penamaan khusus yang diperkenalkan oleh Box and Jenkins. Model ARIMA nonseasonal diklasifikasikan sebagai model ARIMA (p, d, q), di mana d adalah jumlah perbedaan nonseasonal, p adalah jumlah istilah autoregresif (lag dari seri yang berbeda), dan q adalah jumlah moving - Istilah rata-rata (kelambatan dari kesalahan perkiraan) dalam persamaan prediksi. Model ARIMA musiman diklasifikasikan sebagai ARIMA (p, d, q) x (P, D, Q). Dimana D, P, dan Q adalah, masing-masing, jumlah perbedaan musiman, istilah autoregresif musiman (lags dari seri yang berbeda pada kelipatan periode musiman), dan rata-rata musiman moving average (lag dari kesalahan perkiraan pada kelipatan musiman periode). Langkah pertama dalam pemasangan model ARIMA adalah menentukan urutan differensiasi yang sesuai yang diperlukan untuk membuat stasioner seri dan menghapus fitur kotor musiman. Ini setara dengan menentukan model jalan acak-acak atau acak-acak mana yang memberikan titik awal terbaik. Jangan mencoba menggunakan lebih dari 2 total pesanan differencing (kombinasi non musiman dan musiman), dan jangan gunakan lebih dari 1 perbedaan musiman. Langkah kedua adalah menentukan apakah memasukkan istilah konstan dalam model: biasanya Anda menyertakan istilah konstan jika urutan total differensi adalah 1 atau kurang, jika tidak, Anda tidak. Dalam model dengan satu urutan differencing, istilah konstan mewakili tren rata-rata pada prakiraan. Dalam model dengan dua urutan differencing, tren dalam prakiraan ditentukan oleh tren lokal yang diamati pada akhir deret waktu, dan istilah konstan mewakili tren tren, yaitu kelengkungan jangka panjang, Perkiraan jangka panjang Biasanya berbahaya untuk melakukan ekstrapolasi tren-tren, jadi Anda menekan istilah contant dalam kasus ini. Langkah ketiga adalah memilih jumlah parameter rata-rata autoregresif dan moving average (p, d, q, P, D, Q) yang diperlukan untuk menghilangkan autokorelasi yang tertinggal dalam residual dari model naif (yaitu korelasi yang tersisa setelah Hanya differencing). Angka-angka ini menentukan jumlah lag dari deret yang berbeda dan atau lag dari kesalahan perkiraan yang termasuk dalam persamaan peramalan. Jika tidak ada autokorelasi yang signifikan pada residu pada saat ini, maka STOP, yang telah Anda lakukan: model terbaik adalah model naif Jika ada autokorelasi yang signifikan pada kelambatan 1 atau 2, Anda harus mencoba menyetel q1 jika salah satu dari hal berikut berlaku: I) ada perbedaan non musiman dalam model, (ii) autokorelasi lag 1 negatif. Andor (iii) plot otokorelasi residu tampak lebih bersih (lonjakan lebih sedikit dan lebih terisolasi) daripada plot otokorelasi parsial parsial. Jika tidak ada perbedaan musiman pada model dan jika autokorelasi lag 1 positif dan atau plot autokorelasi parsial sebagian terlihat lebih bersih, maka cobalah p1. (Kadang-kadang aturan untuk memilih antara konflik p1 dan q1 satu sama lain, dalam hal ini mungkin tidak banyak bedanya dengan yang Anda gunakan. Cobalah keduanya dan bandingkan). Jika ada autokorelasi pada lag 2 yang tidak dihilangkan dengan menyetel p1 Atau q1, Anda kemudian dapat mencoba p2 atau q2, atau kadang-kadang p1 dan q1. Lebih jarang Anda mungkin mengalami situasi di mana p2 atau 3 dan q1, atau sebaliknya, menghasilkan hasil terbaik. Sangat disarankan agar Anda tidak menggunakan pgt1 dan qgt1 dalam model yang sama. Secara umum, ketika memasang model ARIMA, Anda harus menghindari kompleksitas model yang meningkat agar hanya memperoleh sedikit perbaikan lebih lanjut pada statistik kesalahan atau tampilan plot ACF dan PACF. Juga, dalam model dengan kedua pgt1 dan qgt1, ada kemungkinan redundansi dan ketidak-mampuan yang baik antara sisi AR dan MA dari model, seperti yang dijelaskan dalam catatan pada struktur matematis model ARIMA. Biasanya lebih baik melangkah maju secara bertahap daripada melangkah mundur saat mengutak-atik spesifikasi model: mulailah dengan model yang lebih sederhana dan hanya menambahkan lebih banyak istilah jika ada kebutuhan yang jelas. Aturan yang sama berlaku untuk jumlah istilah autoregresif musiman (P) dan jumlah istilah rata-rata pergerakan musiman (Q) berkenaan dengan autokorelasi pada periode musiman (misalnya lag 12 untuk data bulanan). Coba Q1 jika sudah ada perbedaan musiman pada model dan jika autokorelasi musiman negatif dan atau plot autokorelasi residu terlihat lebih bersih di sekitar lag musiman jika tidak, coba P1. (Jika masuk akal bagi seri untuk menunjukkan musim yang kuat, maka Anda harus menggunakan perbedaan musiman, jika tidak, pola musiman akan pudar saat membuat perkiraan jangka panjang.) Kadang-kadang Anda mungkin ingin mencoba P2 dan Q0 atau wakil veteran, Atau PQ1. Namun, sangat disarankan agar PQ tidak pernah lebih besar dari 2. Pola musiman jarang memiliki keteraturan sempurna selama jumlah musim yang cukup besar sehingga memungkinkan untuk mengidentifikasi dan memperkirakan dengan pasti banyak parameter. Selain itu, algoritma backforecasting yang digunakan dalam estimasi parameter cenderung menghasilkan hasil yang tidak dapat diandalkan (atau bahkan gila) bila jumlah data musim tidak jauh lebih besar daripada PDQ. Saya akan merekomendasikan tidak kurang dari PDQ2 musim penuh, dan lebih baik. Sekali lagi, saat memasang model ARIMA, Anda harus berhati-hati untuk menghindari data yang terlalu pas, terlepas dari kenyataan bahwa ini sangat menyenangkan saat Anda memahaminya. Kasus khusus yang penting: Seperti disebutkan di atas, model ARIMA (0,1,1) tanpa konstan identik dengan model pemulusan eksponensial sederhana, dan mengasumsikan tingkat mengambang (yaitu tidak ada perubahan rata-rata) namun dengan nol tren jangka panjang. Model ARIMA (0,1,1) dengan konstanta adalah model pemulusan eksponensial sederhana dengan istilah linier nonzero linear yang disertakan. Model ARIMA (0,2,1) atau (0,2,2) tanpa konstanta adalah model pemulusan eksponensial linier yang memungkinkan tren waktu bervariasi. Model ARIMA (1,1,2) tanpa konstan adalah model pemulusan eksponensial linier dengan tren yang teredam, yaitu tren yang pada akhirnya merata dalam perkiraan jangka panjang. Model ARIMA musiman yang paling umum adalah model ARIMA (0,1,1) x (0,1,1) tanpa model konstan dan ARIMA (1,0,1) x (0,1,1) dengan konstanta. Mantan model ini pada dasarnya menerapkan pemulusan eksponensial ke komponen nonseasonal dan musiman dari pola dalam data sambil membiarkan tren bervariasi waktu, dan model yang terakhir agak mirip namun mengasumsikan tren linier konstan dan karena itu sedikit lebih lama. Prediksi prediktabilitas. Anda harus selalu menyertakan kedua model ini di antara jajaran tersangka saat melengkapi data dengan pola musiman yang konsisten. Salah satunya (mungkin dengan sedikit variasi seperti kenaikan p atau q oleh 1 dan jika setting P1 dan juga Q1) cukup sering yang terbaik. (Kembali ke atas halaman.) Menggunakan R untuk Analisis Seri Waktu Analisis Seri Waktu Buklet ini menjelaskan bagaimana Anda menggunakan perangkat lunak statistik R untuk melakukan beberapa analisis sederhana yang umum dalam menganalisis data deret waktu. Buklet ini mengasumsikan bahwa pembaca memiliki beberapa pengetahuan dasar tentang analisis deret waktu, dan fokus utama dari buklet tersebut bukanlah untuk menjelaskan analisis deret waktu, melainkan untuk menjelaskan bagaimana melakukan analisis ini menggunakan R. Jika Anda baru mengenal deret waktu Analisis, dan ingin belajar lebih banyak tentang konsep apa pun yang disajikan di sini, saya akan sangat merekomendasikan buku Open University 8220Time series8221 (kode produk M24902), tersedia dari Open University Shop. Dalam buklet ini, saya akan menggunakan kumpulan data rangkaian waktu yang telah disediakan oleh Rob Hyndman dalam Time Data Library-nya di robjhyndmanTSDL. Jika Anda menyukai buklet ini, Anda mungkin juga ingin memeriksa buklet saya untuk menggunakan R untuk statistik biomedis, a-little-book-of-r-for-biomedical-statistics. readthedocs. org. Dan buklet saya tentang penggunaan R untuk analisis multivariat, sedikit - buku - untuk - untuk memulai - analisis. readthedocs. org. Reading Time Series Data Hal pertama yang ingin Anda lakukan untuk menganalisis data deret waktu Anda adalah membacanya menjadi R, dan untuk merencanakan deret waktu. Anda dapat membaca data ke R menggunakan fungsi pemindaian (), yang mengasumsikan bahwa data Anda untuk titik waktu berturut-turut ada dalam file teks sederhana dengan satu kolom. Misalnya, file robjhyndmantsdldatamisckings. dat berisi data tentang usia kematian raja-raja berturut-turut Inggris, dimulai dengan William the Conqueror (sumber asli: Hipel dan Mcleod, 1994). Kumpulan data terlihat seperti ini: Hanya beberapa baris pertama dari file yang telah ditunjukkan. Tiga baris pertama berisi beberapa komentar pada data, dan kami ingin mengabaikan hal ini saat kami membaca data ke R. Kita dapat menggunakan ini dengan menggunakan parameter 8220skip8221 dari fungsi pemindaian (), yang menentukan berapa banyak baris di bagian atas File yang harus diabaikan Untuk membaca file ke R, mengabaikan tiga baris pertama, kita mengetik: Dalam hal ini usia kematian 42 raja berturut-turut di Inggris telah dibaca ke variabel 8216kings8217. Setelah Anda membaca data deret waktu ke R, langkah selanjutnya adalah menyimpan data dalam objek deret waktu di R, sehingga Anda dapat menggunakan banyak fungsi R8217 untuk menganalisis data deret waktu. Untuk menyimpan data dalam objek deret waktu, kita menggunakan fungsi ts () di R. Misalnya, untuk menyimpan data pada variabel 8216kings8217 sebagai objek deret waktu di R, kita mengetik: Terkadang data deret waktu yang ditetapkan bahwa Anda Mungkin telah dikumpulkan secara berkala yang kurang dari satu tahun, misalnya bulanan atau kuartalan. Dalam kasus ini, Anda dapat menentukan berapa kali data dikumpulkan per tahun dengan menggunakan parameter 8216frequency8217 pada fungsi ts (). Untuk data time series bulanan, Anda mengatur frequency12, sedangkan untuk data deret triwulanan, Anda menetapkan frequency4. Anda juga dapat menentukan tahun pertama bahwa data dikumpulkan, dan interval pertama di tahun itu dengan menggunakan parameter 8216start8217 pada fungsi ts (). Misalnya, jika titik data pertama sesuai dengan kuarter kedua tahun 1986, Anda akan menetapkan startc (1986,2). Contohnya adalah kumpulan data jumlah kelahiran per bulan di kota New York, dari Januari 1946 sampai Desember 1959 (yang awalnya dikumpulkan oleh Newton). Data ini tersedia dalam file robjhyndmantsdldatadatanybirths. dat Kita dapat membaca data ke R, dan menyimpannya sebagai objek time series, dengan mengetik: Demikian pula, file robjhyndmantsdldatadatafancy. dat berisi penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota resor pantai di Queensland, Australia, untuk Januari 1987-Desember 1993 (data asli dari Wheelwright dan Hyndman, 1998). Kita bisa membaca data ke R dengan mengetikkan: Plotting Time Series Setelah Anda membaca sebuah seri waktu ke R, langkah selanjutnya adalah membuat plot dari data deret waktu, yang dapat Anda lakukan dengan fungsi plot. ts () Dalam R. Misalnya, untuk merencanakan deret waktu dari usia kematian 42 raja berturut-turut Inggris, kita mengetik: Kita dapat melihat dari plot waktu bahwa deret waktu ini mungkin bisa dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi acak Dalam data kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu. Demikian juga, untuk merencanakan deret waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York, kita mengetik: Kita dapat melihat dari rangkaian waktu ini yang tampaknya merupakan variasi musiman dalam jumlah kelahiran per bulan: ada puncak setiap musim panas. , Dan palung setiap musim dingin. Sekali lagi, nampaknya rangkaian waktu ini mungkin bisa dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi musiman kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu dan sepertinya tidak bergantung pada tingkat deret waktu, dan fluktuasi acak juga tampak demikian. Kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu. Demikian pula, untuk merencanakan deret penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota pantai di Queensland, Australia, kita mengetik: Dalam kasus ini, tampak bahwa model aditif tidak sesuai untuk menggambarkan seri waktu ini, karena ukurannya Fluktuasi musiman dan fluktuasi acak nampaknya meningkat dengan tingkat deret waktu. Dengan demikian, kita mungkin perlu mengubah deret waktu agar mendapatkan rangkaian waktu transformasi yang dapat dideskripsikan dengan menggunakan model aditif. Sebagai contoh, kita dapat mengubah deret waktu dengan menghitung log alami dari data asli: Di sini kita dapat melihat bahwa fluktuasi musiman dan fluktuasi acak dalam deret waktu log-transform tampaknya konstan sepanjang waktu, dan lakukan Tidak tergantung pada tingkat deret waktu. Dengan demikian, deret waktu log-transform dapat digambarkan menggunakan model aditif. Decomposing Time Series Menguraikan rangkaian waktu berarti memisahkannya ke komponen penyusunnya, yang biasanya merupakan komponen tren dan komponen tidak beraturan, dan jika merupakan rangkaian waktu musiman, komponen musiman. Mengurai Data Non-Musiman Seri waktu non-musiman terdiri dari komponen tren dan komponen tidak beraturan. Mendekomposisi deret waktu melibatkan mencoba memisahkan deret waktu ke komponen ini, yaitu memperkirakan komponen tren dan komponen tidak beraturan. Untuk memperkirakan komponen tren dari rangkaian waktu non-musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, lazim digunakan metode pemulusan, seperti menghitung rata-rata pergerakan sederhana dari deret waktu. Fungsi SMA () pada paket 8220TTR8221 R dapat digunakan untuk memperlancar data deret waktu menggunakan rata-rata bergerak sederhana. Untuk menggunakan fungsi ini, pertama-tama kita perlu menginstal paket 8220TTR8221 R (untuk petunjuk bagaimana cara menginstal paket R, lihat Bagaimana cara menginstal paket R). Setelah Anda menginstal paket 8220TTR8221 R, Anda dapat memuat paket 8220TTR8221 R dengan mengetikkan: Anda kemudian dapat menggunakan fungsi 8220SMA () 8221 untuk memperlancar data deret waktu. Untuk menggunakan fungsi SMA (), Anda perlu menentukan urutan (rentang) rata-rata bergerak sederhana, dengan menggunakan parameter 8220n8221. Sebagai contoh, untuk menghitung rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 5, kita menetapkan n5 di fungsi SMA (). Misalnya, seperti yang dibahas di atas, deret waktu dari usia kematian 42 raja berturut-turut di Inggris muncul tidak musiman, dan mungkin dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, karena fluktuasi data secara acak berukuran konstan sepanjang Waktu: Dengan demikian, kita bisa mencoba mengestimasi komponen tren seri kali ini dengan merapikan dengan menggunakan moving average yang sederhana. Untuk memperlancar deret waktu menggunakan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 3, dan plot data deret waktu yang diperhalus, kita mengetik: Masih terlihat ada banyak fluktuasi acak dalam rangkaian waktu yang dihaluskan dengan menggunakan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 3. Dengan demikian, untuk memperkirakan komponen tren secara lebih akurat, kita mungkin ingin mencoba merapikan data dengan rata-rata bergerak sederhana dengan tatanan yang lebih tinggi. Ini membutuhkan sedikit trial and error, untuk menemukan jumlah smoothing yang tepat. Sebagai contoh, kita dapat mencoba menggunakan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 8: Data yang dihaluskan dengan rata-rata bergerak sederhana dari pesanan 8 memberi gambaran lebih jelas tentang komponen tren, dan kita dapat melihat bahwa usia kematian raja-raja Inggris tampaknya Telah menurun dari sekitar 55 tahun menjadi sekitar 38 tahun pada masa pemerintahan 20 raja pertama, dan kemudian meningkat setelah itu menjadi sekitar 73 tahun pada akhir masa pemerintahan raja ke-40 dalam deret waktu. Mengurai Data Musiman Seri waktu musiman terdiri dari komponen tren, komponen musiman dan komponen tidak beraturan. Dekomposisi deret waktu berarti memisahkan deret waktu ke dalam ketiga komponen ini: yaitu memperkirakan ketiga komponen ini. Untuk memperkirakan komponen tren dan komponen musiman dari deret waktu musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif, kita dapat menggunakan fungsi 8220decompose () 8221 di R. Fungsi ini memperkirakan komponen tren, musiman, dan tidak beraturan dari rangkaian waktu yang Dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif. Fungsi 8220decompose () 8221 mengembalikan sebuah objek daftar sebagai hasilnya, di mana perkiraan komponen musiman, komponen tren dan komponen tidak beraturan disimpan dalam elemen bernama dari benda daftar itu, yang masing-masing disebut 8220seasonal8221, 8220trend8221, dan 8220random8221. Misalnya, seperti yang dibahas di atas, rangkaian waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York musiman dengan puncak setiap musim panas dan setiap musim dingin, dan mungkin dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif karena fluktuasi musiman dan acak tampaknya Kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu: Untuk memperkirakan tren, komponen musiman dan tidak teratur dari deret waktu ini, kita mengetik: Nilai estimasi komponen musiman, tren dan tidak beraturan sekarang disimpan dalam variabel komponen kelahiran, komponen pengujian, pengujian kelahiran dan komponen kelahiran berulang. Misalnya, kita dapat mencetak perkiraan nilai komponen musiman dengan mengetik: Perkiraan faktor musiman diberikan untuk bulan Januari-Desember, dan sama untuk setiap tahun. Faktor musiman terbesar adalah untuk bulan Juli (sekitar 1,46), dan yang terendah adalah untuk bulan Februari (sekitar -2,08), menunjukkan bahwa tampaknya ada puncak kelahiran pada bulan Juli dan palung pada kelahiran pada bulan Februari setiap tahunnya. Kita dapat merencanakan perkiraan tren, musiman, dan komponen tidak teratur dari deret waktu dengan menggunakan fungsi 8220plot () 8221, misalnya: Plot di atas menunjukkan rangkaian waktu asli (atas), komponen tren perkiraan (kedua dari atas), Komponen musiman yang diperkirakan (ketiga dari atas), dan perkiraan komponen tidak beraturan (bawah). Kami melihat bahwa komponen tren yang diperkirakan menunjukkan penurunan kecil dari sekitar 24 di tahun 1947 sampai sekitar 22 pada tahun 1948, diikuti oleh peningkatan yang mantap mulai saat ini menjadi sekitar 27 di tahun 1959. Penyesuaian musiman Jika Anda memiliki rangkaian waktu musiman yang dapat dijelaskan dengan menggunakan Sebuah model aditif, Anda dapat menyesuaikan secara musiman deret waktu dengan memperkirakan komponen musiman, dan mengurangkan komponen musiman yang diperkirakan dari rangkaian waktu asli. Kita bisa melakukan ini dengan menggunakan perkiraan komponen musiman yang dihitung oleh fungsi 8220decompose () 8221. Misalnya, untuk menyesuaikan secara musiman rentang waktu jumlah kelahiran per bulan di kota New York, kita dapat memperkirakan komponen musiman menggunakan 8220decompose () 8221, dan kemudian mengurangi komponen musiman dari rangkaian waktu aslinya: Kita kemudian dapat merencanakan Time series yang disesuaikan dengan waktu menggunakan fungsi 8220plot () 8221, dengan mengetik: Anda dapat melihat bahwa variasi musiman telah dihapus dari rangkaian waktu yang disesuaikan secara musiman. Seri waktu yang disesuaikan secara musiman sekarang hanya berisi komponen tren dan komponen tidak beraturan. Prakiraan menggunakan Exponential Smoothing Exponential smoothing dapat digunakan untuk membuat ramalan jangka pendek untuk data deret waktu. Simple Exponential Smoothing Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan tingkat konstan dan tanpa musiman, Anda dapat menggunakan perataan eksponensial sederhana untuk membuat perkiraan jangka pendek. Metode smoothing eksponensial sederhana memberikan cara untuk memperkirakan tingkat pada titik waktu saat ini. Smoothing dikendalikan oleh parameter alpha untuk memperkirakan level pada titik waktu saat ini. Nilai alpha terletak antara 0 dan 1. Nilai alfa yang mendekati 0 berarti bahwa bobot kecil ditempatkan pada observasi terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Sebagai contoh, file robjhyndmantsdldatahurstprecip1.dat berisi total curah hujan tahunan dalam inci untuk London, dari 1813-1912 (data asli dari Hipel dan McLeod, 1994). Kita dapat membaca data ke R dan merencanakannya dengan mengetik: Anda dapat melihat dari plot bahwa ada tingkat yang hampir konstan (rata-rata tetap konstan sekitar 25 inci). Fluktuasi acak dalam deret waktunya nampaknya kira-kira konstan dalam ukuran dari waktu ke waktu, jadi mungkin tepat untuk menggambarkan data menggunakan model aditif. Dengan demikian, kita bisa membuat prakiraan menggunakan smoothing eksponensial sederhana. Untuk membuat prakiraan menggunakan smoothing eksponensial sederhana di R, kita dapat menyesuaikan model prediksi pemulusan eksponensial sederhana menggunakan fungsi 8220HoltWinters () 8221 di R. Untuk menggunakan HoltWinters () untuk perataan eksponensial sederhana, kita perlu mengatur parameter betaFALSE dan gammaFALSE di Fungsi HoltWinters () (parameter beta dan gamma digunakan untuk pemulusan eksponensial Holt8217, atau pemulusan eksponensial Holt-Winters, seperti yang dijelaskan di bawah). Fungsi HoltWinters () mengembalikan variabel daftar, yang berisi beberapa elemen bernama. Misalnya, untuk menggunakan perataan eksponensial sederhana untuk membuat perkiraan untuk deret tahunan curah hujan tahunan di London, kita mengetik: Output dari HoltWinters () memberi tahu kita bahwa perkiraan nilai parameter alfa adalah sekitar 0,024. Ini sangat mendekati nol, mengatakan kepada kita bahwa prakiraan didasarkan pada pengamatan baru-baru ini dan yang baru-baru ini (walaupun bobotnya sedikit lebih banyak ditempatkan pada pengamatan terakhir). Secara default, HoltWinters () hanya membuat perkiraan untuk periode waktu yang sama yang tercakup dalam rangkaian waktu asli kami. Dalam kasus ini, rangkaian waktu asli kami meliputi curah hujan untuk London dari tahun 1813-1912, sehingga prakiraannya juga berlaku untuk tahun 1813-1912. Pada contoh di atas, kita telah menyimpan output dari fungsi HoltWinters () pada daftar variabel 8220rainseriesforecasts8221. Perkiraan yang dibuat oleh HoltWinters () disimpan dalam elemen bernama dari daftar variabel yang disebut 8220fitted8221, jadi kita bisa mendapatkan nilai mereka dengan mengetik: Kita dapat merencanakan rangkaian waktu asli melawan perkiraan dengan mengetik: Plot menunjukkan rangkaian waktu asli di Hitam, dan prakiraan sebagai garis merah. Rangkaian ramalan waktu jauh lebih mulus dari deret data asli di sini. Sebagai ukuran keakuratan prakiraan, kita dapat menghitung jumlah kesalahan kuadrat untuk kesalahan perkiraan sampel, yaitu kesalahan perkiraan untuk jangka waktu yang tercakup dalam rangkaian waktu awal kami. Jumlah kesalahan kuadrat disimpan dalam elemen bernama dari daftar variabel 8220rainseriesforecasts8221 yang disebut 8220SSE8221, jadi kita bisa mendapatkan nilainya dengan mengetik: Artinya, di sini jumlah kesalahan kuadrat adalah 1828.855. Hal ini biasa terjadi pada smoothing eksponensial sederhana untuk menggunakan nilai pertama dalam deret waktu sebagai nilai awal untuk level. Misalnya, dalam deret waktu untuk curah hujan di London, nilai pertama adalah 23,56 (inci) untuk curah hujan pada tahun 1813. Anda dapat menentukan nilai awal untuk level pada fungsi HoltWinters () dengan menggunakan parameter 8220l. start8221. Misalnya, untuk membuat perkiraan dengan nilai awal dari level yang ditetapkan menjadi 23,56, kita mengetikkan: Seperti yang dijelaskan di atas, secara default HoltWinters () hanya membuat perkiraan untuk jangka waktu yang dicakup oleh data asli, yaitu 1813-1912 untuk curah hujan Seri waktu Kita dapat membuat perkiraan untuk titik waktu lebih lanjut dengan menggunakan fungsi 8220forecast. HoltWinters () 8221 dalam paket R 8220forecast8221. Untuk menggunakan fungsi forecast. HoltWinters (), pertama-tama kita perlu menginstal paket R20 8220forecast8221 (untuk petunjuk bagaimana cara menginstal paket R, lihat Bagaimana cara menginstal paket R). Setelah Anda menginstal paket 8220forecast8221 R, Anda dapat memuat paket 8220forecast8221 R dengan mengetikkan: Bila menggunakan fungsi forecast. HoltWinters (), sebagai argumen pertama (masukan), Anda menyebarkannya model prediktif yang telah Anda pas menggunakan Fungsi HoltWinters (). Misalnya, dalam kasus deret waktu curah hujan, kami menyimpan model prediksi yang dibuat menggunakan HoltWinters () pada variabel 8220rainseriesforecasts8221. Anda menentukan berapa banyak titik waktu lebih lanjut yang ingin Anda jadikan prakiraan dengan menggunakan parameter 8220h8221 di forecast. HoltWinters (). Misalnya, untuk membuat perkiraan curah hujan untuk tahun 1814-1820 (8 tahun lagi) dengan menggunakan ramalan. HoltWinters (), kita mengetik: Fungsi forecast. HoltWinters () memberi Anda ramalan untuk satu tahun, interval prediksi 80 untuk Perkiraan, dan interval prediksi 95 untuk ramalan. Misalnya, curah hujan yang diperkirakan pada tahun 1920 sekitar 24,68 inci, dengan interval prediksi 95 (16,24, 33,11). Untuk merencanakan prediksi yang dibuat oleh forecast. HoltWinters (), kita dapat menggunakan fungsi 8220plot. forecast () 8221: Di sini prakiraan untuk 1913-1920 diplot sebagai garis biru, interval prediksi 80 sebagai daerah yang teduh oranye, dan 95 interval prediksi sebagai area berbayang kuning. Kesalahan 8216forecast8217 dihitung sebagai nilai yang teramati dikurangi nilai yang diprediksi, untuk setiap titik waktu. Kita hanya bisa menghitung perkiraan kesalahan untuk periode waktu yang tercakup dalam rangkaian waktu asli kita, yaitu 1813-1912 untuk data curah hujan. Seperti disebutkan di atas, satu ukuran keakuratan model prediktif adalah penjumlahan kuadrat-kuadrat (SSE) untuk kesalahan perkiraan sampel dalam sampel. Kesalahan perkiraan sampel dalam sampel disimpan dalam elemen bernama 8220residuals8221 dari variabel daftar yang dikembalikan oleh forecast. HoltWinters (). Jika model prediktif tidak dapat diperbaiki, seharusnya tidak ada korelasi antara perkiraan kesalahan untuk prediksi berturut-turut. Dengan kata lain, jika ada korelasi antara perkiraan kesalahan untuk prediksi berturut-turut, kemungkinan ramalan penghalusan eksponensial sederhana dapat diperbaiki dengan teknik peramalan lain. Untuk mengetahui apakah ini masalahnya, kita bisa mendapatkan correlogram dari perkiraan kesalahan dalam sampel untuk lag lag 1-20. Kita dapat menghitung correlogram dari kesalahan perkiraan menggunakan fungsi 8220acf () 8221 di R. Untuk menentukan lag maksimum yang ingin kita lihat, kita menggunakan parameter 8220lag. max8221 di acf (). Misalnya, untuk menghitung correlogram kesalahan perkiraan sampel untuk data curah hujan London untuk lag 1-20, kita mengetik: Anda dapat melihat dari correlogram sampel bahwa autokorelasi pada lag 3 hanya menyentuh batas-batas signifikansi. Untuk menguji apakah ada bukti signifikan untuk korelasi non-nol pada lag 1-20, kita dapat melakukan uji Ljung-Box. Hal ini dapat dilakukan pada R menggunakan fungsi 8220Box. test () 8221. Kelambatan maksimum yang ingin kita lihat ditentukan dengan menggunakan parameter 8220lag8221 pada fungsi Box. test (). Misalnya, untuk menguji apakah ada autokorelasi non-nol pada lag 1-20, untuk kesalahan perkiraan sampel untuk data curah hujan di London, kita mengetik: Berikut statistik uji Ljung-Box adalah 17,4, dan nilai p adalah 0,6 , Jadi hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada kesalahan perkiraan sampel pada lag 1-20. Untuk memastikan bahwa model prediktif tidak dapat diperbaiki, ada baiknya juga untuk memeriksa apakah kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan. Untuk memeriksa apakah kesalahan perkiraan memiliki varians konstan, kita dapat membuat plot waktu dari perkiraan kesalahan dalam sampel: Plot menunjukkan bahwa kesalahan perkiraan sampel tampaknya memiliki varians yang hampir konstan dari waktu ke waktu, walaupun ukuran fluktuasi di Dimulainya rangkaian waktu (1820-1830) mungkin sedikit kurang dari yang di kemudian hari (misalnya 1840-1850). Untuk memeriksa apakah kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol, kita dapat merencanakan histogram dari kesalahan perkiraan, dengan kurva normal yang dilapis yang memiliki mean nol dan standar deviasi yang sama dengan distribusi kesalahan perkiraan. Untuk melakukan ini, kita dapat menentukan fungsi R 8220plotForecastErrors () 8221, di bawah ini: Anda harus menyalin fungsi di atas ke dalam R untuk menggunakannya. Anda kemudian dapat menggunakan plotForecastErrors () untuk merencanakan histogram (dengan kurva normal terlipat) dari perkiraan kesalahan untuk prediksi curah hujan: Plot menunjukkan bahwa distribusi kesalahan perkiraan secara kasar berpusat pada nol, dan biasanya didistribusikan secara normal, meskipun Tampaknya sedikit miring ke kanan dibandingkan dengan kurva normal. Namun, condong kanan relatif kecil, dan sangat masuk akal bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol. Uji Ljung-Box menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada kesalahan perkiraan sampel, dan distribusi kesalahan perkiraan tampaknya terdistribusi normal dengan nol rata-rata. Ini menunjukkan bahwa metode pemulusan eksponensial sederhana memberikan model prediksi yang memadai untuk curah hujan London, yang mungkin tidak dapat diperbaiki. Selanjutnya, asumsi bahwa interval prediksi 80 dan 95 didasarkan pada (bahwa tidak ada autokorelasi dalam kesalahan perkiraan, dan kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan) mungkin valid. Holt8217s Exponential Smoothing Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan tren meningkat atau menurun dan tanpa musiman, Anda dapat menggunakan pemulusan eksponensial Holt8217 untuk membuat perkiraan jangka pendek. Holt8217s eksponensial smoothing memperkirakan tingkat dan kemiringan pada titik waktu saat ini. Smoothing dikendalikan oleh dua parameter, alpha, untuk estimasi tingkat pada titik waktu saat ini, dan beta untuk perkiraan kemiringan b dari komponen tren pada titik waktu saat ini. Seperti halnya smoothing eksponensial sederhana, paramer alpha dan beta memiliki nilai antara 0 dan 1, dan nilai yang mendekati 0 berarti bahwa bobot kecil ditempatkan pada pengamatan terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Contoh deret waktu yang mungkin bisa dideskripsikan dengan menggunakan model aditif dengan tren dan tidak ada musiman adalah deret waktu dari diameter tahunan rok wanita8217 di hem, dari tahun 1866 sampai 1911. Data tersedia di file robjhyndmantsdldatarobertsskirts. Dat (data asli dari Hipel dan McLeod, 1994). Kita dapat membaca dan merencanakan data di R dengan mengetik: Kita dapat melihat dari plot bahwa ada peningkatan diameter hem dari sekitar 600 pada tahun 1866 sampai sekitar 1050 pada tahun 1880, dan kemudian diameter hem diturunkan menjadi sekitar 520 pada tahun 1911 Untuk membuat prakiraan, kita dapat menyesuaikan model prediktif dengan menggunakan fungsi HoltWinters () di R. Untuk menggunakan HoltWinters () untuk pemulusan eksponensial Holt8217, kita perlu mengatur parameter gammaFALSE (parameter gamma digunakan untuk pemulusan eksponensial Holt-Winters, Seperti yang dijelaskan di bawah). Misalnya, untuk menggunakan pemulusan eksponensial Holt8217 agar sesuai dengan model prediktif untuk diameter rok lingkaran, kita mengetik: Nilai taksiran alpha adalah 0,84, dan beta adalah 1,00. Ini keduanya tinggi, memberi tahu kita bahwa baik perkiraan nilai sekarang dari tingkat, dan kemiringan b komponen tren, sebagian besar didasarkan pada pengamatan yang sangat baru dalam deret waktu. Ini masuk akal intuitif, karena tingkat dan kemiringan deret waktu keduanya berubah cukup lama dari waktu ke waktu. Nilai kesalahan jumlah-kuadrat untuk kesalahan perkiraan sampel adalah 16954. Kita dapat merencanakan rangkaian waktu asli sebagai garis hitam, dengan nilai perkiraan sebagai garis merah di atas itu, dengan mengetik: Kami Dapat melihat dari gambar bahwa perkiraan sampel dalam sampel cukup sesuai dengan nilai yang teramati, walaupun cenderung tertinggal jauh dari nilai yang teramati sedikit. Jika Anda mau, Anda dapat menentukan nilai awal dari tingkat dan kemiringan b dari komponen tren dengan menggunakan argumen 8220l. start8221 dan 8220b. start8221 untuk fungsi HoltWinters (). Adalah umum untuk menetapkan nilai awal dari tingkat ke nilai pertama dalam deret waktu (608 untuk data rok), dan nilai awal kemiringan pada nilai kedua dikurangi nilai pertama (9 untuk data rok). Misalnya, untuk menyesuaikan model prediktif dengan data rok hem dengan menggunakan smoothing eksponensial Holt8217s, dengan nilai awal 608 untuk level dan 9 untuk kemiringan b komponen tren, kita mengetik: Seperti untuk smoothing eksponensial sederhana, kita dapat membuat perkiraan Untuk masa depan yang tidak tercakup dalam rangkaian waktu asli dengan menggunakan fungsi forecast. HoltWinters () dalam paket 8220forecast8221. Sebagai contoh, data deret waktu kami untuk rok hems adalah untuk tahun 1866 sampai 1911, jadi kami dapat membuat prediksi untuk tahun 1912 sampai 1930 (19 poin data lebih banyak), dan plotkannya, dengan mengetik: Prakiraan ditampilkan sebagai garis biru, dengan 80 interval prediksi sebagai daerah yang diarsir dengan warna oranye, dan interval prediksi 95 sebagai daerah yang diarsir kuning. Seperti pemulusan eksponensial sederhana, kita dapat memeriksa apakah model prediktif dapat diperbaiki dengan memeriksa apakah kesalahan perkiraan sampel menunjukkan autokorelasi non-nol pada lag 1-20. Sebagai contoh, untuk data rok hem, kita dapat membuat correlogram, dan melakukan uji Ljung-Box, dengan mengetikkan: Disini correlogram menunjukkan bahwa autokorelasi sampel untuk kesalahan perkiraan sampel pada lag 5 melebihi batas signifikansi. Namun, kita akan memperkirakan satu dari 20 autokorelasi untuk dua detik pertama yang tertinggal melebihi batas kepentingan 95 secara kebetulan saja. Memang, ketika kita melakukan uji Ljung-Box, nilai p adalah 0,47, menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada kesalahan perkiraan sampel pada lag 1-20. Seperti untuk smoothing eksponensial sederhana, kita juga harus memeriksa bahwa kesalahan perkiraan memiliki varians konstan dari waktu ke waktu, dan biasanya terdistribusi dengan mean nol. Kita dapat melakukan ini dengan membuat plot waktu dari kesalahan perkiraan, dan histogram dari distribusi kesalahan perkiraan dengan kurva normal yang dilapisi: Plot waktu dari kesalahan perkiraan menunjukkan bahwa kesalahan perkiraan memiliki varians konstan secara konstan dari waktu ke waktu. Histogram kesalahan perkiraan menunjukkan bahwa masuk akal bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan. Jadi, uji Ljung-Box menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi dalam kesalahan perkiraan, sementara plot waktu dan histogram kesalahan perkiraan menunjukkan bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa pemulusan eksponensial Holt8217s memberikan model prediksi yang memadai untuk diameter rok hem, yang mungkin tidak dapat diperbaiki. Selain itu, ini berarti bahwa asumsi bahwa interval prediksi 80 dan 95 didasarkan pada kemungkinan valid. Pemulusan Eksponensial Holt-Winters Jika Anda memiliki rangkaian waktu yang dapat dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan tren naik dan turun dan musiman, Anda dapat menggunakan pemulusan eksponensial Holt-Winters untuk membuat perkiraan jangka pendek. Holt-Winters eksponensial smoothing memperkirakan tingkat, kemiringan dan komponen musiman pada titik waktu saat ini. Smoothing dikendalikan oleh tiga parameter: alpha, beta, dan gamma, untuk perkiraan tingkat, kemiringan b dari komponen tren, dan komponen musiman masing-masing pada titik waktu sekarang. Parameter alpha, beta dan gamma semuanya memiliki nilai antara 0 dan 1, dan nilai yang mendekati 0 berarti bahwa bobot relatif sedikit ditempatkan pada observasi terbaru saat membuat perkiraan nilai masa depan. Contoh deret waktu yang mungkin bisa dijelaskan dengan menggunakan model aditif dengan tren dan musiman adalah deret waktu dari log penjualan bulanan untuk toko suvenir di sebuah kota pantai di Queensland, Australia (dibahas di atas): Untuk membuat Prakiraan, kita bisa memasukkan model prediksi menggunakan fungsi HoltWinters (). Misalnya, agar sesuai dengan model prediksi untuk penjualan bulanan penjualan di toko suvenir, kita mengetik: Nilai estimasi alpha, beta dan gamma masing-masing adalah 0,41, 0,00, dan 0,96. Nilai alfa (0,41) relatif rendah, menunjukkan bahwa perkiraan tingkat pada titik waktu saat ini didasarkan pada pengamatan terakhir dan beberapa pengamatan di masa lalu yang lebih jauh. Nilai beta adalah 0.00, yang menunjukkan bahwa perkiraan kemiringan b komponen tren tidak diperbarui sepanjang deret waktu, dan sebaliknya disetel sama dengan nilai awalnya. Ini masuk akal intuitif, karena tingkatnya sedikit berubah selama rangkaian waktu, namun kemiringan komponen tren tetap sama. Sebaliknya, nilai gamma (0,96) tinggi, menunjukkan bahwa perkiraan komponen musiman pada titik waktu saat ini hanya didasarkan pada pengamatan yang sangat baru-baru ini. Seperti pemulusan eksponensial sederhana dan pemulusan eksponensial Holt8217, kami dapat merencanakan rangkaian waktu asli sebagai garis hitam, dengan nilai perkiraan sebagai garis merah di atas itu: Kami melihat dari plot bahwa metode eksponensial Holt-Winters sangat berhasil. Dalam memprediksi puncak musiman, yang terjadi kira-kira di bulan November setiap tahunnya. Untuk membuat prakiraan untuk masa depan yang tidak termasuk dalam rangkaian waktu asli, kami menggunakan fungsi 8220forecast. HoltWinters () 8221 dalam paket 8220forecast8221. Misalnya, data asli untuk penjualan suvenir adalah dari Januari 1987 sampai Desember 1993. Jika kami ingin membuat perkiraan untuk Januari 1994 sampai Desember 1998 (48 bulan lagi), dan merencanakan perkiraan, kami akan mengetik: Perkiraan tersebut akan ditampilkan sebagai Garis biru, dan area teduh oranye dan kuning masing-masing menunjukkan 80 dan 95 interval prediksi. Kita dapat menyelidiki apakah model prediktif dapat diperbaiki dengan memeriksa apakah kesalahan perkiraan sampel menunjukkan autokorelasi non-nol pada lag 1-20, dengan membuat correlogram dan melakukan uji Ljung-Box: Korelasi tersebut menunjukkan bahwa autokorelasi Untuk perkiraan kesalahan dalam sampel tidak melebihi batas signifikansi untuk lags 1-20. Selanjutnya, nilai p untuk uji Ljung-Box adalah 0,6, menunjukkan bahwa hanya ada sedikit bukti autokorelasi non-nol pada lag 1-20. Kita dapat memeriksa apakah kesalahan perkiraan memiliki varians konstan dari waktu ke waktu, dan biasanya terdistribusi dengan mean nol, dengan membuat plot waktu dari perkiraan kesalahan dan histogram (dengan kurva normal yang dilipat): Dari plot waktu, tampak masuk akal bahwa Kesalahan perkiraan memiliki varians konstan dari waktu ke waktu. Dari histogram kesalahan perkiraan, nampaknya masuk akal bahwa kesalahan perkiraan terdistribusi normal dengan mean nol. Dengan demikian, hanya ada sedikit bukti autokorelasi pada kelambatan 1-20 untuk kesalahan perkiraan, dan kesalahan perkiraan tampaknya terdistribusi normal dengan mean nol dan varians konstan dari waktu ke waktu. This suggests that Holt-Winters exponential smoothing provides an adequate predictive model of the log of sales at the souvenir shop, which probably cannot be improved upon. Furthermore, the assumptions upon which the prediction intervals were based are probably valid. ARIMA Models Exponential smoothing methods are useful for making forecasts, and make no assumptions about the correlations between successive values of the time series. However, if you want to make prediction intervals for forecasts made using exponential smoothing methods, the prediction intervals require that the forecast errors are uncorrelated and are normally distributed with mean zero and constant variance. While exponential smoothing methods do not make any assumptions about correlations between successive values of the time series, in some cases you can make a better predictive model by taking correlations in the data into account. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models include an explicit statistical model for the irregular component of a time series, that allows for non-zero autocorrelations in the irregular component. Differencing a Time Series ARIMA models are defined for stationary time series. Therefore, if you start off with a non-stationary time series, you will first need to 8216difference8217 the time series until you obtain a stationary time series. If you have to difference the time series d times to obtain a stationary series, then you have an ARIMA(p, d,q) model, where d is the order of differencing used. You can difference a time series using the 8220diff()8221 function in R. For example, the time series of the annual diameter of women8217s skirts at the hem, from 1866 to 1911 is not stationary in mean, as the level changes a lot over time: We can difference the time series (which we stored in 8220skirtsseries8221, see above) once, and plot the differenced series, by typing: The resulting time series of first differences (above) does not appear to be stationary in mean. Therefore, we can difference the time series twice, to see if that gives us a stationary time series: Formal tests for stationarity Formal tests for stationarity called 8220unit root tests8221 are available in the fUnitRoots package, available on CRAN, but will not be discussed here. The time series of second differences (above) does appear to be stationary in mean and variance, as the level of the series stays roughly constant over time, and the variance of the series appears roughly constant over time. Thus, it appears that we need to difference the time series of the diameter of skirts twice in order to achieve a stationary series. If you need to difference your original time series data d times in order to obtain a stationary time series, this means that you can use an ARIMA(p, d,q) model for your time series, where d is the order of differencing used. For example, for the time series of the diameter of women8217s skirts, we had to difference the time series twice, and so the order of differencing (d) is 2. This means that you can use an ARIMA(p,2,q) model for your time series. The next step is to figure out the values of p and q for the ARIMA model. Another example is the time series of the age of death of the successive kings of England (see above): From the time plot (above), we can see that the time series is not stationary in mean. To calculate the time series of first differences, and plot it, we type: The time series of first differences appears to be stationary in mean and variance, and so an ARIMA(p,1,q) model is probably appropriate for the time series of the age of death of the kings of England. By taking the time series of first differences, we have removed the trend component of the time series of the ages at death of the kings, and are left with an irregular component. We can now examine whether there are correlations between successive terms of this irregular component if so, this could help us to make a predictive model for the ages at death of the kings. Selecting a Candidate ARIMA Model If your time series is stationary, or if you have transformed it to a stationary time series by differencing d times, the next step is to select the appropriate ARIMA model, which means finding the values of most appropriate values of p and q for an ARIMA(p, d,q) model. To do this, you usually need to examine the correlogram and partial correlogram of the stationary time series. To plot a correlogram and partial correlogram, we can use the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions in R, respectively. To get the actual values of the autocorrelations and partial autocorrelations, we set 8220plotFALSE8221 in the 8220acf()8221 and 8220pacf()8221 functions. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, to plot the correlogram for lags 1-20 of the once differenced time series of the ages at death of the kings of England, and to get the values of the autocorrelations, we type: We see from the correlogram that the autocorrelation at lag 1 (-0.360) exceeds the significance bounds, but all other autocorrelations between lags 1-20 do not exceed the significance bounds. To plot the partial correlogram for lags 1-20 for the once differenced time series of the ages at death of the English kings, and get the values of the partial autocorrelations, we use the 8220pacf()8221 function, by typing: The partial correlogram shows that the partial autocorrelations at lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, are negative, and are slowly decreasing in magnitude with increasing lag (lag 1: -0.360, lag 2: -0.335, lag 3:-0.321). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 3. Since the correlogram is zero after lag 1, and the partial correlogram tails off to zero after lag 3, this means that the following ARMA (autoregressive moving average) models are possible for the time series of first differences: an ARMA(3,0) model, that is, an autoregressive model of order p3, since the partial autocorrelogram is zero after lag 3, and the autocorrelogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(0,1) model, that is, a moving average model of order q1, since the autocorrelogram is zero after lag 1 and the partial autocorrelogram tails off to zero an ARMA(p, q) model, that is, a mixed model with p and q greater than 0, since the autocorrelogram and partial correlogram tail off to zero (although the correlogram probably tails off to zero too abruptly for this model to be appropriate) We use the principle of parsimony to decide which model is best: that is, we assum e that the model with the fewest parameters is best. The ARMA(3,0) model has 3 parameters, the ARMA(0,1) model has 1 parameter, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, the ARMA(0,1) model is taken as the best model. An ARMA(0,1) model is a moving average model of order 1, or MA(1) model. This model can be written as: Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where Xt is the stationary time series we are studying (the first differenced series of ages at death of English kings), mu is the mean of time series Xt, Zt is white noise with mean zero and constant variance, and theta is a parameter that can be estimated. A MA (moving average) model is usually used to model a time series that shows short-term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes good sense that a MA model can be used to describe the irregular component in the time series of ages at death of English kings, as we might expect the age at death of a particular English king to have some effect on the ages at death of the next king or two, but not much effect on the ages at death of kings that reign much longer after that. Shortcut: the auto. arima() function The auto. arima() function can be used to find the appropriate ARIMA model, eg. type 8220library(forecast)8221, then 8220auto. arima(kings)8221. The output says an appropriate model is ARIMA(0,1,1). Since an ARMA(0,1) model (with p0, q1) is taken to be the best candidate model for the time series of first differences of the ages at death of English kings, then the original time series of the ages of death can be modelled using an ARIMA(0,1,1) model (with p0, d1, q1, where d is the order of differencing required). Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere Let8217s take another example of selecting an appropriate ARIMA model. The file file robjhyndmantsdldataannualdvi. dat contains data on the volcanic dust veil index in the northern hemisphere, from 1500-1969 (original data from Hipel and Mcleod, 1994). This is a measure of the impact of volcanic eruptions8217 release of dust and aerosols into the environment. We can read it into R and make a time plot by typing: From the time plot, it appears that the random fluctuations in the time series are roughly constant in size over time, so an additive model is probably appropriate for describing this time series. Furthermore, the time series appears to be stationary in mean and variance, as its level and variance appear to be roughly constant over time. Therefore, we do not need to difference this series in order to fit an ARIMA model, but can fit an ARIMA model to the original series (the order of differencing required, d, is zero here). We can now plot a correlogram and partial correlogram for lags 1-20 to investigate what ARIMA model to use: We see from the correlogram that the autocorrelations for lags 1, 2 and 3 exceed the significance bounds, and that the autocorrelations tail off to zero after lag 3. The autocorrelations for lags 1, 2, 3 are positive, and decrease in magnitude with increasing lag (lag 1: 0.666, lag 2: 0.374, lag 3: 0.162). The autocorrelation for lags 19 and 20 exceed the significance bounds too, but it is likely that this is due to chance, since they just exceed the significance bounds (especially for lag 19), the autocorrelations for lags 4-18 do not exceed the signifiance bounds, and we would expect 1 in 20 lags to exceed the 95 significance bounds by chance alone. From the partial autocorrelogram, we see that the partial autocorrelation at lag 1 is positive and exceeds the significance bounds (0.666), while the partial autocorrelation at lag 2 is negative and also exceeds the significance bounds (-0.126). The partial autocorrelations tail off to zero after lag 2. Since the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2, the following ARMA models are possible for the time series: an ARMA(2,0) model, since the partial autocorrelogram is zero after lag 2, and the correlogram tails off to zero after lag 3, and the partial correlogram is zero after lag 2 an ARMA(0,3) model, since the autocorrelogram is zero after lag 3, and the partial correlogram tails off to zero (although perhaps too abruptly for this model to be appropriate) an ARMA(p, q) mixed model, since the correlogram and partial correlogram tail off to zero (although the partial correlogram perhaps tails off too abruptly for this model to be appropriate) Shortcut: the auto. arima() function Again, we can use auto. arima() to find an appropriate model, by typing 8220auto. arima(volcanodust)8221, which gives us ARIMA(1,0,2), which has 3 parameters. However, different criteria can be used to select a model (see auto. arima() help page). If we use the 8220bic8221 criterion, which penalises the number of parameters, we get ARIMA(2,0,0), which is ARMA(2,0): 8220auto. arima(volcanodust, ic8221bic8221)8221. The ARMA(2,0) model has 2 parameters, the ARMA(0,3) model has 3 parameters, and the ARMA(p, q) model has at least 2 parameters. Therefore, using the principle of parsimony, the ARMA(2,0) model and ARMA(p, q) model are equally good candidate models. An ARMA(2,0) model is an autoregressive model of order 2, or AR(2) model. This model can be written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Xt is the stationary time series we are studying (the time series of volcanic dust veil index), mu is the mean of time series Xt, Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated, and Zt is white noise with mean zero and constant variance. An AR (autoregressive) model is usually used to model a time series which shows longer term dependencies between successive observations. Intuitively, it makes sense that an AR model could be used to describe the time series of volcanic dust veil index, as we would expect volcanic dust and aerosol levels in one year to affect those in much later years, since the dust and aerosols are unlikely to disappear quickly. If an ARMA(2,0) model (with p2, q0) is used to model the time series of volcanic dust veil index, it would mean that an ARIMA(2,0,0) model can be used (with p2, d0, q0, where d is the order of differencing required). Similarly, if an ARMA(p, q) mixed model is used, where p and q are both greater than zero, than an ARIMA(p,0,q) model can be used. Forecasting Using an ARIMA Model Once you have selected the best candidate ARIMA(p, d,q) model for your time series data, you can estimate the parameters of that ARIMA model, and use that as a predictive model for making forecasts for future values of your time series. You can estimate the parameters of an ARIMA(p, d,q) model using the 8220arima()8221 function in R. Example of the Ages at Death of the Kings of England For example, we discussed above that an ARIMA(0,1,1) model seems a plausible model for the ages at deaths of the kings of England. You can specify the values of p, d and q in the ARIMA model by using the 8220order8221 argument of the 8220arima()8221 function in R. To fit an ARIMA(p, d,q) model to this time series (which we stored in the variable 8220kingstimeseries8221, see above), we type: As mentioned above, if we are fitting an ARIMA(0,1,1) model to our time series, it means we are fitting an an ARMA(0,1) model to the time series of first differences. An ARMA(0,1) model can be written Xt - mu Zt - (theta Zt-1), where theta is a parameter to be estimated. From the output of the 8220arima()8221 R function (above), the estimated value of theta (given as 8216ma18217 in the R output) is -0.7218 in the case of the ARIMA(0,1,1) model fitted to the time series of ages at death of kings. Specifying the confidence level for prediction intervals You can specify the confidence level for prediction intervals in forecast. Arima() by using the 8220level8221 argument. For example, to get a 99.5 prediction interval, we would type 8220forecast. Arima(kingstimeseriesarima, h5, levelc(99.5))8221. We can then use the ARIMA model to make forecasts for future values of the time series, using the 8220forecast. Arima()8221 function in the 8220forecast8221 R package. For example, to forecast the ages at death of the next five English kings, we type: The original time series for the English kings includes the ages at death of 42 English kings. The forecast. Arima() function gives us a forecast of the age of death of the next five English kings (kings 43-47), as well as 80 and 95 prediction intervals for those predictions. The age of death of the 42nd English king was 56 years (the last observed value in our time series), and the ARIMA model gives the forecasted age at death of the next five kings as 67.8 years. We can plot the observed ages of death for the first 42 kings, as well as the ages that would be predicted for these 42 kings and for the next 5 kings using our ARIMA(0,1,1) model, by typing: As in the case of exponential smoothing models, it is a good idea to investigate whether the forecast errors of an ARIMA model are normally distributed with mean zero and constant variance, and whether the are correlations between successive forecast errors. For example, we can make a correlogram of the forecast errors for our ARIMA(0,1,1) model for the ages at death of kings, and perform the Ljung-Box test for lags 1-20, by typing: Since the correlogram shows that none of the sample autocorrelations for lags 1-20 exceed the significance bounds, and the p-value for the Ljung-Box test is 0.9, we can conclude that there is very little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors at lags 1-20. To investigate whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we can make a time plot and histogram (with overlaid normal curve) of the forecast errors: The time plot of the in-sample forecast errors shows that the variance of the forecast errors seems to be roughly constant over time (though perhaps there is slightly higher variance for the second half of the time series). The histogram of the time series shows that the forecast errors are roughly normally distributed and the mean seems to be close to zero. Therefore, it is plausible that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance. Since successive forecast errors do not seem to be correlated, and the forecast errors seem to be normally distributed with mean zero and constant variance, the ARIMA(0,1,1) does seem to provide an adequate predictive model for the ages at death of English kings. Example of the Volcanic Dust Veil in the Northern Hemisphere We discussed above that an appropriate ARIMA model for the time series of volcanic dust veil index may be an ARIMA(2,0,0) model. To fit an ARIMA(2,0,0) model to this time series, we can type: As mentioned above, an ARIMA(2,0,0) model can be written as: written as: Xt - mu (Beta1 (Xt-1 - mu)) (Beta2 (Xt-2 - mu)) Zt, where Beta1 and Beta2 are parameters to be estimated. The output of the arima() function tells us that Beta1 and Beta2 are estimated as 0.7533 and -0.1268 here (given as ar1 and ar2 in the output of arima()). Now we have fitted the ARIMA(2,0,0) model, we can use the 8220forecast. ARIMA()8221 model to predict future values of the volcanic dust veil index. The original data includes the years 1500-1969. To make predictions for the years 1970-2000 (31 more years), we type: We can plot the original time series, and the forecasted values, by typing: One worrying thing is that the model has predicted negative values for the volcanic dust veil index, but this variable can only have positive values The reason is that the arima() and forecast. Arima() functions don8217t know that the variable can only take positive values. Clearly, this is not a very desirable feature of our current predictive model. Again, we should investigate whether the forecast errors seem to be correlated, and whether they are normally distributed with mean zero and constant variance. To check for correlations between successive forecast errors, we can make a correlogram and use the Ljung-Box test: The correlogram shows that the sample autocorrelation at lag 20 exceeds the significance bounds. However, this is probably due to chance, since we would expect one out of 20 sample autocorrelations to exceed the 95 significance bounds. Furthermore, the p-value for the Ljung-Box test is 0.2, indicating that there is little evidence for non-zero autocorrelations in the forecast errors for lags 1-20. To check whether the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance, we make a time plot of the forecast errors, and a histogram: The time plot of forecast errors shows that the forecast errors seem to have roughly constant variance over time. However, the time series of forecast errors seems to have a negative mean, rather than a zero mean. We can confirm this by calculating the mean forecast error, which turns out to be about -0.22: The histogram of forecast errors (above) shows that although the mean value of the forecast errors is negative, the distribution of forecast errors is skewed to the right compared to a normal curve. Therefore, it seems that we cannot comfortably conclude that the forecast errors are normally distributed with mean zero and constant variance Thus, it is likely that our ARIMA(2,0,0) model for the time series of volcanic dust veil index is not the best model that we could make, and could almost definitely be improved upon Links and Further Reading Here are some links for further reading. For a more in-depth introduction to R, a good online tutorial is available on the 8220Kickstarting R8221 website, cran. r-project. orgdoccontribLemon-kickstart . There is another nice (slightly more in-depth) tutorial to R available on the 8220Introduction to R8221 website, cran. r-project. orgdocmanualsR-intro. html . You can find a list of R packages for analysing time series data on the CRAN Time Series Task View webpage . To learn about time series analysis, I would highly recommend the book 8220Time series8221 (product code M24902) by the Open University, available from the Open University Shop . There are two books available in the 8220Use R8221 series on using R for time series analyses, the first is Introductory Time Series with R by Cowpertwait and Metcalfe, and the second is Analysis of Integrated and Cointegrated Time Series with R by Pfaff. Acknowledgements I am grateful to Professor Rob Hyndman. for kindly allowing me to use the time series data sets from his Time Series Data Library (TSDL) in the examples in this booklet. Many of the examples in this booklet are inspired by examples in the excellent Open University book, 8220Time series8221 (product code M24902), available from the Open University Shop . Thank you to Ravi Aranke for bringing auto. arima() to my attention, and Maurice Omane-Adjepong for bringing unit root tests to my attention, and Christian Seubert for noticing a small bug in plotForecastErrors(). Thank you for other comments to Antoine Binard and Bill Johnston. I will be grateful if you will send me (Avril Coghlan) corrections or suggestions for improvements to my email address alc 64 sanger 46 ac 46 ukFORECASTING Forecasting can be broadly considered as a method or a technique for estimating many future aspects of a business or other operation. There are numerous techniques that can be used to accomplish the goal of forecasting. For example, a retailing firm that has been in business for 25 years can forecast its volume of sales in the coming year based on its experience over the 25-year periodx2014such a forecasting technique bases the future forecast on the past data. While the term x0022forecastingx0022 may appear to be rather technical, planning for the future is a critical aspect of managing any organizationx2014business, nonprofit, or other. In fact, the long-term success of any organization is closely tied to how well the management of the organization is able to foresee its future and to develop appropriate strategies to deal with likely future scenarios. Intuition, good judgment, and an awareness of how well the economy is doing may give the manager of a business firm a rough idea (or x0022feelingx0022) of what is likely to happen in the future. Nevertheless, it is not easy to convert a feeling about the future into a precise and useful number, such as next yearx0027s sales volume or the raw material cost per unit of output. Forecasting methods can help estimate many such future aspects of a business operation. Suppose that a forecast expert has been asked to provide estimates of the sales volume for a particular product for the next four quarters. One can easily see that a number of other decisions will be affected by the forecasts or estimates of sales volumes provided by the forecaster. Clearly, production schedules, raw material purchasing plans, policies regarding inventories, and sales quotas will be affected by such forecasts. As a result, poor forecasts or estimates may lead to poor planning and thus result in increased costs to the business. How should one go about preparing the quarterly sales volume forecasts One will certainly want to review the actual sales data for the product in question for past periods. Suppose that the forecaster has access to actual sales data for each quarter over the 25year period the firm has been in business. Using these historical data, the forecaster can identify the general level of sales. He or she can also determine whether there is a pattern or trend, such as an increase or decrease in sales volume over time. A further review of the data may reveal some type of seasonal pattern, such as peak sales occurring before a holiday. Thus by reviewing historical data over time, the forecaster can often develop a good understanding of the previous pattern of sales. Understanding such a pattern can often lead to better forecasts of future sales of the product. In addition, if the forecaster is able to identify the factors that influence sales, historical data on these factors (or variables) can also be used to generate forecasts of future sales volumes. All forecasting methods can be divided into two broad categories: qualitative and quantitative. Many forecasting techniques use past or historical data in the form of time series. A time series is simply a set of observations measured at successive points in time or over successive periods of time. Forecasts essentially provide future values of the time series on a specific variable such as sales volume. Division of forecasting methods into qualitative and quantitative categories is based on the availability of historical time series data. Qualitative forecasting techniques generally employ the judgment of experts in the appropriate field to generate forecasts. A key advantage of these procedures is that they can be applied in situations where historical data are simply not available. Moreover, even when historical data are available, significant changes in environmental conditions affecting the relevant time series may make the use of past data irrelevant and questionable in forecasting future values of the time series. Consider, for example, that historical data on gasoline sales are available. If the government then implemented a gasoline rationing program, changing the way gasoline is sold, one would have to question the validity of a gasoline sales forecast based on the past data. Qualitative forecasting methods offer a way to generate forecasts in such cases. Three important qualitative forecasting methods are: the Delphi technique, scenario writing, and the subject approach. DELPHI TECHNIQUE. In the Delphi technique, an attempt is made to develop forecasts through x0022group consensus. x0022 Usually, a panel of experts is asked to respond to a series of questionnaires. The experts, physically separated from and unknown to each other, are asked to respond to an initial questionnaire (a set of questions). Then, a second questionnaire is prepared incorporating information and opinions of the whole group. Each expert is asked to reconsider and to revise his or her initial response to the questions. This process is continued until some degree of consensus among experts is reached. It should be noted that the objective of the Delphi technique is not to produce a single answer at the end. Instead, it attempts to produce a relatively narrow spread of opinionsx2014the range in which opinions of the majority of experts lie. SCENARIO WRITING. Under this approach, the forecaster starts with different sets of assumptions. For each set of assumptions, a likely scenario of the business outcome is charted out. Thus, the forecaster would be able to generate many different future scenarios (corresponding to the different sets of assumptions). The decision maker or businessperson is presented with the different scenarios, and has to decide which scenario is most likely to prevail. SUBJECTIVE APPROACH. The subjective approach allows individuals participating in the forecasting decision to arrive at a forecast based on their subjective feelings and ideas. This approach is based on the premise that a human mind can arrive at a decision based on factors that are often very difficult to quantify. x0022Brainstorming sessionsx0022 are frequently used as a way to develop new ideas or to solve complex problems. In loosely organized sessions, participants feel free from peer pressure and, more importantly, can express their views and ideas without fear of criticism. Many corporations in the United States have started to increasingly use the subjective approach. QUANTITATIVE FORECASTING METHODS Quantitative forecasting methods are used when historical data on variables of interest are availablex2014these methods are based on an analysis of historical data concerning the time series of the specific variable of interest and possibly other related time series. There are two major categories of quantitative forecasting methods. The first type uses the past trend of a particular variable to base the future forecast of the variable. As this category of forecasting methods simply uses time series on past data of the variable that is being forecasted, these techniques are called time series methods. The second category of quantitative forecasting techniques also uses historical data. But in forecasting future values of a variable, the forecaster examines the cause-and-effect relationships of the variable with other relevant variables such as the level of consumer confidence, changes in consumersx0027 disposable incomes, the interest rate at which consumers can finance their spending through borrowing, and the state of the economy represented by such variables as the unemployment rate. Thus, this category of forecasting techniques uses past time series on many relevant variables to produce the forecast for the variable of interest. Forecasting techniques falling under this category are called causal methods, as the basis of such forecasting is the cause-and-effect relationship between the variable forecasted and other time series selected to help in generating the forecasts. TIME SERIES METHODS OF FORECASTING. Before discussing time series methods, it is helpful to understand the behavior of time series in general terms. Time series are comprised of four separate components: trend component, cyclical component, seasonal component, and irregular component. These four components are viewed as providing specific values for the time series when combined. In a time series, measurements are taken at successive points or over successive periods. The measurements may be taken every hour, day, week, month, or year, or at any other regular (or irregular) interval. While most time series data generally display some random fluctuations, the time series may still show gradual shifts to relatively higher or lower values over an extended period. The gradual shifting of the time series is often referred to by professional forecasters as the trend in the time series. A trend emerges due to one or more long-term factors, such as changes in population size, changes in the demographic characteristics of population, and changes in tastes and preferences of consumers. For example, manufacturers of automobiles in the United States may see that there are substantial variations in automobile sales from one month to the next. But, in reviewing auto sales over the past 15 to 20 years, the automobile manufacturers may discover a gradual increase in annual sales volume. In this case, the trend for auto sales is increasing over time. In another example, the trend may be decreasing over time. Professional forecasters often describe an increasing trend by an upward sloping straight line and a decreasing trend by a downward sloping straight line. Using a straight line to represent a trend, however, is a mere simplificationx2014in many situations, nonlinear trends may more accurately represent the true trend in the time series. Although a time series may often exhibit a trend over a long period, it may also display alternating sequences of points that lie above and below the trend line. Any recurring sequence of points above and below the trend line that last more than a year is considered to constitute the cyclical component of the time seriesx2014that is, these observations in the time series deviate from the trend due to cyclical fluctuations (fluctuations that repeat at intervals of more than one year). The time series of the aggregate output in the economy (called the real gross domestic product) provides a good example of a time series that displays cyclical behavior. While the trend line for gross domestic product (GDP) is upward sloping, the output growth displays a cyclical behavior around the trend line. This cyclical behavior of GDP has been dubbed business cycles by economists. The seasonal component is similar to the cyclical component in that they both refer to some regular fluctuations in a time series. There is one key difference, however. While cyclical components of a time series are identified by analyzing multiyear movements in historical data, seasonal components capture the regular pattern of variability in the time series within one-year periods. Many economic variables display seasonal patterns. For example, manufacturers of swimming pools experience low sales in fall and winter months, but they witness peak sales of swimming pools during spring and summer months. Manufacturers of snow removal equipment, on the other hand, experience the exactly opposite yearly sales pattern. The component of the time series that captures the variability in the data due to seasonal fluctuations is called the seasonal component. The irregular component of the time series represents the residual left in an observation of the time series once the effects due to trend, cyclical, and seasonal components are extracted. Trend, cyclical, and seasonal components are considered to account for systematic variations in the time series. x0027h e irregular component thus accounts for the random variability in the time series. The random variations in the time series are, in turn, caused by short-term, unanticipated and nonrecurring factors that affect the time series. The irregular component of the time series, by nature, cannot be predicted in advance. TIME SERIES FORECASTING USING SMOOTHING METHODS. Smoothing methods are appropriate when a time series displays no significant effects of trend, cyclical, or seasonal components (often called a stable time series). In such a case, the goal is to smooth out the irregular component of the time series by using an averaging process. Once the time series is smoothed, it is used to generate forecasts. The moving averages method is probably the most widely used smoothing technique. In order to smooth the time series, this method uses the average of a number of adjoining data points or periods. This averaging process uses overlapping observations to generate averages. Suppose a forecaster wants to generate three-period moving averages. The forecaster would take the first three observations of the time series and calculate the average. Then, the forecaster would drop the first observation and calculate the average of the next three observations. This process would continue until three-period averages are calculated based on the data available from the entire time series. The term x0022movingx0022 refers to the way averages are calculatedx2014the forecaster moves up or down the time series to pick observations to calculate an average of a fixed number of observations. In the three-period example, the moving averages method would use the average of the most recent three observations of data in the time series as the forecast for the next period. This forecasted value for the next period, in conjunction with the last two observations of the historical time series, would yield an average that can be used as the forecast for the second period in the future. The calculation of a three-period moving average can be illustrated as follows. Suppose a forecaster wants to forecast the sales volume for American-made automobiles in the United States for the next year. The sales of American-made cars in the United States during the previous three years were: 1.3 million, 900,000, and 1.1 million (the most recent observation is reported first). The three-period moving average in this case is 1.1 million cars (that is: (1.3 0.90 1.1)3 1.1). Based on the three-period moving averages, the forecast may predict that 1.1 million American-made cars are most likely to be sold in the United States the next year. In calculating moving averages to generate forecasts, the forecaster may experiment with different-length moving averages. The forecaster will choose the length that yields the highest accuracy for the forecasts generated. x0022 It is important that forecasts generated not be too far from the actual future outcomes. In order to examine the accuracy of forecasts generated, forecasters generally devise a measure of the forecasting error (that is, the difference between the forecasted value for a period and the associated actual value of the variable of interest). Suppose retail sales volume for American-made automobiles in the United States is forecast to be 1.1 million cars for a given year, but only I million cars are actually sold that year. The forecast error in this case is equal 100,000 cars. In other words, the forecaster overestimated the sales volume for the year by 100,000. Of course, forecast errors will sometimes be positive, and at other times be negative. Thus, taking a simple average of forecast errors over time will not capture the true magnitude of forecast errors large positive errors may simply cancel out large negative errors, giving a misleading impression about the accuracy of forecasts generated. As a result, forecasters commonly use the mean squares error to measure the forecast error. The mean squares error, or the MSE, is the average of the sum of squared forecasting errors. This measure, by taking the squares of forecasting errors, eliminates the chance of negative and positive errors canceling out. In selecting the length of the moving averages, a forecaster can employ the MSE measure to determine the number of values to be included in calculating the moving averages. The forecaster experiments with different lengths to generate moving averages and then calculates forecast errors (and the associated mean squares errors) for each length used in calculating moving averages. Then, the forecaster can pick the length that minimizes the mean squared error of forecasts generated. Weighted moving averages are a variant of moving averages. In the moving averages method, each observation of data receives the same weight. In the weighted moving averages method, different weights are assigned to the observations on data that are used in calculating the moving averages. Suppose, once again, that a forecaster wants to generate three-period moving averages. Under the weighted moving averages method, the three data points would receive different weights before the average is calculated. Generally, the most recent observation receives the maximum weight, with the weight assigned decreasing for older data values. The calculation of a three-period weighted moving average can be illustrated as follows. Suppose, once again, that a forecaster wants to forecast the sales volume for American-made automobiles in the United States for the next year. The sales of American-made cars for the United States during the previous three years were: 1.3 million, 900,000, and 1.1 million (the most recent observation is reported first). One estimate of the weighted three-period moving average in this example can be equal to 1.133 million cars (that is, 1(36) x (1.3) (26) x (0.90) (16) x (1.1) 3 1.133 ). Based on the three-period weighted moving averages, the forecast may predict that 1.133 million American-made cars are most likely to be sold in the United States in the next year. The accuracy of weighted moving averages forecasts are determined in a manner similar to that for simple moving averages. Exponential smoothing is somewhat more difficult mathematically. In essence, however, exponential smoothing also uses the weighted average conceptx2014in the form of the weighted average of all past observations, as contained in the relevant time seriesx2014to generate forecasts for the next period. The term x0022exponential smoothingx0022 comes from the fact that this method employs a weighting scheme for the historical values of data that is exponential in nature. In ordinary terms, an exponential weighting scheme assigns the maximum weight to the most recent observation and the weights decline in a systematic manner as older and older observations are included. The accuracies of forecasts using exponential smoothing are determined in a manner similar to that for the moving averages method. TIME SERIES FORECASTING USING TREND PROJECTION. This method uses the underlying long-term trend of a time series of data to forecast its future values. Suppose a forecaster has data on sales of American-made automobiles in the United States for the last 25 years. The time series data on U. S. auto sales can be plotted and examined visually. Most likely, the auto sales time series would display a gradual growth in the sales volume, despite the x0022upx0022 and x0022downx0022 movements from year to year. The trend may be linear (approximated by a straight line) or nonlinear (approximated by a curve or a nonlinear line). Most often, forecasters assume a linear trendx2014of course, if a linear trend is assumed when, in fact, a nonlinear trend is present, this misrepresentation can lead to grossly inaccurate forecasts. Assume that the time series on American-made auto sales is actually linear and thus it can be represented by a straight line. Mathematical techniques are used to find the straight line that most accurately represents the time series on auto sales. This line relates sales to different points over time. If we further assume that the past trend will continue in the future, future values of the time series (forecasts) can be inferred from the straight line based on the past data. One should remember that the forecasts based on this method should also be judged on the basis of a measure of forecast errors. One can continue to assume that the forecaster uses the mean squares error discussed earlier. TIME SERIES FORECASTING USING TREND AND SEASONAL COMPONENTS. This method is a variant of the trend projection method, making use of the seasonal component of a time series in addition to the trend component. This method removes the seasonal effect or the seasonal component from the time series. This step is often referred to as de-seasonalizing the time series. Once a time series has been de-seasonalized it will have only a trend component. The trend projection method can then be employed to identify a straight line trend that represents the time series data well. Then, using this trend line, forecasts for future periods are generated. The final step under this method is to reincorporate the seasonal component of the time series (using what is known as the seasonal index) to adjust the forecasts based on trend alone. In this manner, the forecasts generated are composed of both the trend and seasonal components. One will normally expect these forecasts to be more accurate than those that are based purely on the trend projection. CAUSAL METHOD OF FORECASTING. As mentioned earlier, causal methods use the cause-and-effect relationship between the variable whose future values are being forecasted and other related variables or factors. The widely known causal method is called regression analysis, a statistical technique used to develop a mathematical model showing how a set of variables are related. This mathematical relationship can be used to generate forecasts. In the terminology used in regression analysis contexts, the variable that is being forecasted is called the dependent or response variable. The variable or variables that help in forecasting the values of the dependent variable are called the independent or predictor variables. Regression analysis that employs one dependent variable and one independent variable and approximates the relationship between these two variables by a straight line is called a simple linear regression. Regression analysis that uses two or more independent variables to forecast values of the dependent variable is called a multiple regression analysis. Below, the forecasting technique using regression analysis for the simple linear regression case is briefly introduced. Suppose a forecaster has data on sales of American-made automobiles in the United States for the last 25 years. The forecaster has also identified that the sale of automobiles is related to individualsx0027 real disposable income (roughly speaking, income after income taxes are paid, adjusted for the inflation rate). The forecaster also has available the time series (for the last 25 years) on the real disposable income. The time series data on U. S. auto sales can be plotted against the time series data on real disposable income, so it can be examined visually. Most likely, the auto i sales time series would display a gradual growth in sales volume as real disposable income increases, despite the occasional lack of consistencyx2014that is, at times, auto sales may fall even when real disposable income rises. The relationship between the two variables (auto sales as the dependent variable and real disposable income as the independent variable) may be linear (approximated by a straight line) or nonlinear (approximated by a curve or a nonlinear line). Assume that the relationship between the time series on sales of American-made automobiles and real disposable income of consumers is actually linear and can thus be represented by a straight line. A fairly rigorous mathematical technique is used to find the straight line that most accurately represents the relationship between the time series on auto sales and disposable income. The intuition behind the mathematical technique employed in arriving at the appropriate straight line is as follows. Imagine that the relationship between the two time series has been plotted on paper. The plot will consist of a scatter (or cloud) of points. Each point in the plot represents a pair of observations on auto sales and disposable income (that is, auto sales corresponding to the given level of the real disposable income in any year). The scatter of points (similar to the time series method discussed above) may have an upward or a downward drift. That is, the relationship between auto sales and real disposable income may be approximated by an upward or downward sloping straight line. In all likelihood, the regression analysis in the present example will yield an upward sloping straight linex2014as disposable income increases so does the volume of automobile sales. Arriving at the most accurate straight line is the key. Presumably, one can draw many straight lines through the scatter of points in the plot. Not all of them, however, will equally represent the relationshipx2014some will be closer to most points, and others will be way off from most points in the scatter. Regression analysis then employs a mathematical technique. Different straight lines are drawn through the data. Deviations of the actual values of the data points in the plot from the corresponding values indicated by the straight line chosen in any instance are examined. The sum of the squares of these deviations captures the essence of how close a straight line is to the data points. The line with the minimum sum of squared deviations (called the x0022least squaresx0022 regression line) is considered the line of the best fit. Having identified the regression line, and assuming that the relationship based on the past data will continue, future values of the dependent variable (forecasts) can be inferred from the straight line based on the past data. If the forecaster has an idea of what the real disposable income may be in the coming year, a forecast for future auto sales can be generated. One should remember that forecasts based on this method should also be judged on the basis of a measure of forecast errors. One can continue to assume that the forecaster uses the mean squares error discussed earlier. In addition to using forecast errors, regression analysis uses additional ways of analyzing the effectiveness of the estimated regression line in forecasting. Anderson, David R. Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams. An Introduction to Management Science: Quantitative Approaches to Decision Making. 8 ed. MinneapolisSt. Paul: West Publishing, 1997. x2014x2014. Statistics for Business and Economics. 7th ed. Cincinnati: SouthWestern College Publishing, 1999.
Comments
Post a Comment